چگونگی یافتن دامنه توابع

اگر دامنه ی تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده باشد و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «دامنه ی تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن بزرگترین زیر مجمو عه ی R که برای هر x از آن مجموعه، (f(x عددی حقیقی باشد»

تعریف دامنه و توضیحات مهم در این زمینه:، یعنی 

.

با توجه به گستردگی تعریف بالا، هیچ راه کلی و قانون عمومی برای یافتن دامنه ی همه ی توابع وجود ندارد. در این جلسه، توابع مهم را در چند دسته خدمتتان معرفی می کنیم و برای درک بیشتر، از هر کدام مثالهایی خواهیم آورد. البته ممکن است با بعضی توابع در دسته بندی زیر آشنا نباشید. اگر به چنین مواردی برخوردید از مطالعه ی آن صرف نظر کنید؛ در جلسات بعدی آنها را معرفی خواهیم کرد.



نکات اصلی:

چند جمله ایها:

اگر f چند جمله ای باشد، در این صورت دامنه ی آن R خواهد بود. به طور دقیق تر اگر



آنگاه برای هر ، مقدار خروجی (f(x نیز عددی حقیقی است و لذا . به عنوان مثال دامنه ی همه ی 5 تابع زیر R است:


(توجه کنید که اولین تابع در مثال بالا که تابع ثابت 1 است، نیز یک چند جمله ای است. هر عدد حقیقی را یک چند جمله ای در نظر خواهیم گرفت.)

توابع کسری

برای یافتن دامنه ی توابع کسری، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

- دامنه ی صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.

- اشتراک دامنه ی صورت و مخرج را به دست می آوریم.

- اگر اعدادی که مخرج کسر را صفر می کنند وجود داشته باشند (ریشه های مخرج) آنها را از اشتراک به دست آمده در مرحله ی قبل حذف می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

توضیح: در جلسات بعد، به این سوال پاسخ خواهیم داد که چرا باید مراحل بالا را برای به دست آوردن دامنه ی توابع کسری انجام دهیم.

حال برای تمرین بیشتر، دامنه ی چند تابع کسری را به دست می آوریم.

الف)

بنابر نکته ی 1، دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=1 تنها ریشه ی مخرج است، لذا خواهیم داشت:



ب)

دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون x=2 و x=3 دو ریشه ی مخرج هستند، لذا خواهیم داشت:


ج)

دامنه ی صورت و مخرج هر دو R است. بنابر این اشتراک دامنه های صورت و مخرج نیز R خواهد بود. حال چون مخرج ریشه ندارد، لذا دامنه ی تابع h همان R است.

د)

دامنه ی صورت در قسمت (ب) به دست آمد. دامنه ی مخرج نیز بنابر نکته ی 1 برابر است با R. پس اشتراک دامنه ها برابر است با . اما x=-1 تنها ریشه مخرج است، در نتیجه .

توجه: در مثال (د) نمی توان بدون دقت به اصطلاح با دور به دور-نزدیک به نزدیک کردن، تابع را ساده و سپس دامنه را محاسبه کرد، به طور دقیق تر، تابع مثال (د) با تابع برابر نیست. (چرا؟)

توابع رادیکالی با ریشه ی زوج:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی زوج، مراحل کلی زیر را انجام می دهیم:

- دامنه ی تابع داخل رادیکال را محاسبه می کنیم.

- تابع داخل رادیکال را تعیین علامت می کنیم، یعنی مجموعه ی همه اعدادی را به دست می آوریم که برای هر عدد از آن مجموعه، عبارت داخل رادیکال، نامنفی (برزگتر یا مساوی صفر) شود .

- اشتراک دو مجموعه ی به دست آمده از مراحل بالا را محاسبه می کنیم، تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید.

حال برای تمرین بیشتر، به چند مثال زیر توجه کنید:

الف)

دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 آموختیم)، نتیجه خواهیم گرفت که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . بنابر این با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود: .

ب)

بنابر نکته ی 1، دامنه ی تابع زیر رادیکال، R است. اگر عبارت زیر رادیکال را تعیین علامت کنیم(به همان روشهایی که در فصل اول ریاضی 2 برای تعیین علامت عبارات درجه ی 2 آموخته ایم)، نتیجه می شود که مجموعه ی همه اعدادی که عبارت داخل رادیکال را نامنفی می کند عبارت است از . با محاسبه ی اشتراک R و نتیجه می شود:

ج)

دامنه ی عبارت داخل رادیکال است. با تعیین علامت تابع زیر رادیکال، مجموعه ی همه اعدادی که این تابع را نامنفی می کند عبارت است از . حال با اشتراک و نتیجه می شود: .

توابع رادیکالی با ریشه ی فرد:

برای یافتن دامنه ی توابع رادیکالی با ریشه ی فرد، فقط کافی است دامنه ی تابع زیر رادیکال را به دست آوریم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. (چرا؟) به طور مثال دامنه ی تابع با دامنه ی تابع برابر است و در نتیجه دامنه ی f برابر است با .

تابع قدر مطلق:

دامنه ی تابع به وضوح R است. در حالت کلی، دامنه ی(قدر مطلق (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( قدر مطلق ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.

تابع جزء صحیح:

دامنه ی تابع برابر است با R . در حالت کلی، دامنه (جزء صحیح (h(x ) برابر است با دامنه ی تابع (h(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( جزء صحیح ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.

تابع لگاریتم:

دامنه ی تابع برابر است با اعداد حقیقی مثبت. (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است.) در حالت کلی، دامنه ( a عددی مثبت و مخالف 1 ) برابر است با . به دو مثال زیر توجه کنید:

الف)

با توجه به نکته ی بالا، دامنه ی این تابع، x هایی در دامنه ی است که به ازای آن x ها داشته باشیم . چون دامنه ی تابع ، همان R است، لذا با تعیین علامت تابع خواهیم داشت: .

ب)

پایه ی لگاریتم باید مثبت و مخالف ۱ باشد؛ در نتیجه x باید در تغییر کند. از طرف دیگر عبارت روبروی لگاریتم نیز باید عددی مثبت باشد (این عبارت را تعیین علامت کنید). بنابر این .

تابع نمایی:

دامنه ی تابع برابر است با R (توجه کنید که a عددی مثبت و مخالف 1 است). در حالت کلی، دامنه (a به توان (g(x ) برابر است با دامنه ی تابع (g(x . به طور مثال دامنه ی تابع ( 2 به توان ) با دامنه ی تابع ، یعنی ، برابر است.

توابع مثلثاتی:

- دامنه ی دو تابع (sin(x و (cos(x برابر است با R.

- دامنه ی تابع (tan(x برابر است با.

- دامنه ی تابع (cot(x برابر است با .

توابع معکوس مثلثاتی:

- دامنه ی (Arcsin(x (یا ) و (Arccos(x (یا ) برابر است با .

- دامنه ی (Arctan(x (یا ) و تابع (Arccot(x (یا ) برابر است با R.

توابع چند ضابطه ای:

برای محاسبه ی دامنه ی توابع چند ضابطه ای، کافی است اجتماع دامنه های تک تک ضابطه ها را که معمولا روبه روی آن نوشته می شود، محاسبه کنیم. به ۴ تابع زیر توجه کنید و سعی کنید با استفاده از نکته ی گفته شده، دامنه ی آنها را به دست آورید.



- برای دیدن دامنه ها اینجا را کلیک کنید.

مهم: توابعی که به صورت حاصل جمع یا حاصل ضرب چند تابع دیگر هستند

برای محاسبه دامنه ی این توابع، ابتدا دامنه ی تک تک توابع موجود در آن را محاسبه و سپس اشتراک همه ی این دامنه ها را حساب می کنیم تا دامنه ی تابع اصلی به دست آید. برای مثال، دامنه ی توابع زیر را به دست آورید:

الف)

جواب:

ب)

جواب:

ج)

جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، مجموعه ی تک عنصری است.)

د)

جواب: (بنابر این دامنه ی این تابع، تهی است. چنین توابعی را معمولاً تابع تهی گوییم.)

پیدا کردن دامنه ی تابع از روی شکل آن:

اگر شکل تابع در دست باشد، می توان از هر نقطه ی شکل، عمودی بر محور x ها وارد کرد تا برای هر نقطه ی روی شکل نقطه ای متناظربا آن روی محور x ها به دست آید. مجوعه ی نقاط به دست آمده روی محور x ها، همان دامنه است.